東大寺学園中学校２０１７年算数第３問（解答・解説）
（１）
三角形ＡＢＣと三角形ＤＢＣは、底辺（ＢＣ）が等しく、高さの比がＡＢ：ＤＥ＝２：３だから、面積の比は２：３＝[２]：[３]となります。
三角形ＡＢＦの面積：三角形ＣＤＦの面積＝３：７＝③：⑦だから、
⑦－③＝[３]－[２] ←三角形ＡＢＦの面積と三角形ＣＤＦの面積の差は、それぞれの面積に三角形ＦＢＣの面積をつけ足したものどうしの差と一致するからです。
④＝[１]
となり、三角形ＦＢＣの面積は
④×[２]/[１]－③
＝⑤
となります。
三角形ＡＢＦと三角形ＦＢＣは高さが等しく、面積の比が③：⑤＝３：５だから、底辺の比（ＡＦ：ＦＣ）は３：５となります。
（２）
Ａを通り、ＢＣに平行な線を引き、図のように点をとります。
まず、三角形ＨＡＢと三角形ＨＧＤのちょうちょ相似（相似比はＡＢ：ＧＤ＝２：（３－１）＝２：１）に注目すると、ＨＡ：ＨＧ＝２：１＝６：３となります。
次に、三角形ＦＨＡと三角形ＦＢＣののちょうちょ相似（相似比はＦＡ：ＦＣ＝３：５）に注目すると、ＨＡ：ＢＣ＝３：５＝６：１０となります。
したがって、ＢＥ：ＢＣは
（６＋３）：１０
＝９：１０
となります。
