東大寺学園中学校２０２５年算数第５問（解答・解説）
（１）
まず、１２を素因数分解します。
１２＝２×２×３ですね。
次に、１を使わずに、１２を２数の積、３数の積で表します。 ←４数の積にできないことは、素因数分解の結果から明らかですね。なお、（２）の解法のように素因数の割り振りを考えて解くこともできますが、この問題ではそこまでする必要はないでしょう。
２×６（２数の和は８）
３×４（２数の和は７）
２×２×３（３数の和は７）
積に影響を与えない１をいくつか加えて和が１２となるように調整します。
答えは下のようになります。
１、１、１、１、２、６
１、１、１、１、１、３、４
１、１、１、１、１、２、２、３
（２）
（１）からわかるように、積の組合せが決まれば、１の数をうまく加えることで条件を満たすものができますね。
まず、２１０を素因数分解します。
２１０＝２１×１０＝２×３×５×７ですね。 ←「九九の逆」を用いて素早く素因数分解するのがポイントです。
素因数２、３、５、７の割り振りを考えます。
（あ）素因数を４つに分ける場合
（い）素因数を３つに分ける場合
（う）素因数を２つに分ける場合
（え）素因数を１つに「分ける」場合 ←（２）では不要ですが、（３）では必要となります。
（あ）の場合
１通りありますね。
（い）の場合
どの２つの素因数を１つの数とするかで（４×３）/（２×１）＝６通りあります。
（う）の場合
素因数を１個と３個に分ける場合、どの素因数を１個とするかで４通りあります。
素因数を２個ずつに分ける場合、特定の素因数（例えば２）に着目して、この２とペアをなす素因数が何通りあるか考えればよく、３通りあります。 ←（４×３）/（２×１）×１/２＝３通りとしてもよいでしょう（素因数４個から２個選び、重複度で割ります）。
（え）の場合
１通りあります（ただし、（２）では考えません）。
（あ）、（い）、（う）より、条件を満たす数の組は全部で
１＋６＋４＋３
＝１４通り
あります。
（３）
（２）同様、素因数の割り振りを考えても解けますが、２３１０＝２１０×１１であることに着目して、（２）を利用して解きます。
（あ）の場合の素因数１１の割り振り方は４＋１（素因数１１が独立の場合の１通りに注意）＝５通りあるから、この場合は１×５＝５通りあります。
（い）の場合の素因数１１の割り振り方は３＋１（素因数１１が独立の場合の１通りに注意）＝４通りあるから、この場合は６×４＝２４通りあります。
（う）の場合の素因数１１の割り振り方は２＋１（素因数１１が独立の場合の１通りに注意）＝３通りあるから、この場合は（４＋３）×３＝２１通りあります。
（え）の場合の素因数１１の割り振り方は１通り（素因数１１が独立の場合の１通りだけであることに注意）あるから、この場合は１×１＝１通りあります。
したがって、条件を満たす数の組は全部で
５＋２４＋２１＋１
＝５１通り
あります。