筑波大学附属駒場中学校２００６年算数第１問（解答・解説）
少し実験してみれば、交点をなるべく多くするためには、なるべく３方向に均等になるように輪ゴムをかければよく、交点をなるべく少なくするためには、同じ方向に輪ゴムをかければよいことがすぐにわかりますね。 ←小さな例で実験⇒観察⇒規則性の把握⇒一般化
（１）
３本の輪ゴムを３方向に１本ずつかければよいですね。
１本の輪ゴムには、交点が２×２＝４個できるので、３本の輪ゴムでは、交点が４×３＝１２個できます。
すべての交点はダブルカウントされているので、求める交点の個数は
１２÷２ ←あえてダブらせて、重複度で割るという方針で解いています。（３）も同様です。
＝６個
となります。
なお、立方体の各面のところに交点が１個ずつできるから、全部で６個となりますとしてもよいでしょう。
簡単な（３）を先に解きます。
（３）
９９本の輪ゴムの場合、３方向に９９/３＝３３本ずつかければよいですね。
１本の輪ゴムには、交点が３３×２×２個の交点ができるので、９９本の輪ゴムでは、交点が３３×２×２×９９個できます。 ←１本の輪ゴムを正方形状にして、縦方向に３３回切り、横方向に３３回切ることをイメージすればいいでしょう。わかりにくければ概略図をかきましょう。
すべての交点はダブルカウントされているので、９９本の輪ゴムの場合の交点の最大個数は
３３×２×２×９９×１/２
＝６６×９９個 ←答えでないので計算しません。
となります。
ここに１００本目の輪ゴムをかけると、１００本目の輪ゴムの上には、新たに３３×２×２個の交点ができるので、結局、求める交点の最大個数は
６６×９９＋３３×２×２
＝６６×９９＋６６×２
＝６６×１０１ ←分配法則の逆を利用しました。
＝６６６６個
となります。
なお、立方体の各面のところに交点が何個ずつできるかを数えると次のようになります。
説明の便宜上、３４本が立方体の側面に巻き付いていると考えます。
立方体の底面１個あたりに、交点が３３×３３個でき、側面１個あたりに、交点が３３×３４個できるから、全部で
３３×３３×２＋３３×３４×４
＝６６×（３３＋６８） ←分配法則の逆を利用しました。
＝６６×１０１
＝６６６６個
となります。
（２）
３方向にかける輪ゴムの組み合わせとして考えられるのは、次の場合になります。 ←この程度であれば頭で想像できるはずですが、わかりにくければ図をかきましょう。
５本の輪ゴムのかけ方としては次の場合が考えられます。
５−０−０・・・交点０個
４−１−０・・・交点８個
３−２−０・・・交点１２個
２−２−１・・・交点８個
交点が１２個になるのは、３−２−０だけですね。
新たに３本の輪ゴムをかけて交点を最小にするためには、６−２−０となるようにすればいいですね。
新たにかけた輪ゴム１本上には、交点が新たに２×２＝４個できるから、結局、この場合の交点の個数は全部で
１２＋４×３
＝２４個
となります。
新たに３本の輪ゴムをかけて交点を最大にするためには、３−２−３となるようにすればいいですね。 ←３−３−２としても同じことですが、このほうがわかりやすいので、このように考えます。
新たにかけた輪ゴム１本上には、交点が新たに２×３＋２×２＝１０個できるから、結局、この場合の交点の個数は全部で
１２＋１０×３
＝４２個
となります。