筑波大学附属駒場中学校２０１１年算数第３問（解答・解説）
（１）
０があると、積が０になってしまい、求める和には影響ないので、０を使わない数だけ考えればいいですね。
１×１、１×２、・・・、１×９、
２×１、２×２、・・・、２×９、
・・・・・・・・・・・・・・・
９×１、９×２、・・・、９×９
上の数の和を求めればいいですが、これは、九九の表に出てくる数の和に他ならないですね。
次のような面積図をイメージするとよいでしょう。
例えば、４×６＝２４というのは、図の赤色の長方形の面積になっていますね。
わざわざ全部の長方形（正方形も含みます）の面積を求めてから合計しなくても、いきなり大きな正方形の面積を求めればいいですね。
求める数の和は
（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）
＝４５×４５
＝２０２５
となります。
（２）
０があると積が０になってしまい、求める和には影響がないので、０を使わない数だけ考えればいいですね。
２０００以上２０１１以下の数は０を必ず使うので、ハッタリにすぎません。
千台の数（１□△○（□、△、○には１から９までの数が入ります））だけ考えればいいですね。
１をかけても積は変わらないので、千の位の１は無視できますね。
結局、３桁の数□△○（□、△、○には１から９までの数が入ります）を考えればいいですね。
これは、（１）の問題と全く同様に考えられますね。
求める数の和は
（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９）×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９） ←（１）が平面（面積図）で、こちらは、立体ですね。
＝４５×４５×４５
＝９１１２５
となります。
（３）
（２）同様、０が登場するものは無視できますし、千の位の１は無視できますね。
積の一の位が９（奇数）となることから、使える数字は奇数だけとなります。 ←一の位チェック！
５を使うと、一の位が５になるので、使えませんね。
結局、□△○（□、△、○には１、３、７、９のいずれかが入ります）を考えればいいですね。
まず、積の組み合わせとしてありうるものを書き出し、次に、並べ替えが何通りあるかを考えます。
１−１−９・・・９がどこに来るかで３通りあります。
１−３−３・・・上と同様３通りあります。
１−７−７・・・上と同様３通りあります。
３−７−９・・・３がどこに来るかで３通りあり、そのそれぞれに対して、７がどこに来るかで３通りあり、そのそれぞれに対して、９がどこに来るかで１通りあるから、全部で３×２×１＝６通りあります。
９−９−９・・・１通りあります。
したがって、求める個数は
３＋３＋３＋６＋１
＝１６個
となります。
なお、最後のところは次のように、積の一の位としてありうるものを調べつくしてもよいでしょう。
２個の積（□×△）の一の位
１ ３ ７ ９
１ １ ３ ７ ９
３ ３ ９ １ ７
７ ７ １ ９ ３
９ ９ ７ ３ １
１、３、７、９がそれぞれ４回ずつ登場していますね。
この積の一の位に〇（１、３、７、９）をかけても、上の表と全く同様に積の一の位に１、３、７、９がそれぞれ４回ずつ登場しますね。
したがって、求める個数は
４×４
＝１６個
となります。
