筑波大学附属駒場中学校２０１４年算数第３問（解答・解説）
以下、１kgの食塩水を[４]と表します。
まず、１回目の操作終了後までについて考えます。
操作の前半終了後、食塩の量は変わらず、濃さ（食塩の量/食塩水の量）が４/５になったのだから、食塩水の量は最初の５/４倍、つまり、加えた水の量は最初の食塩水の量の１/４倍、つまり[４]×１/４＝[１]となっています。
また、１回目の操作終了後の食塩水の量は[４]×２＝[８]となっています。
１回目の操作全体は「１２％の食塩水[４]×２－[４]×１/４＝[７]に水[１]を加える」と読み替えることができるから、食塩の量が一定で、食塩水の量が８/７倍になったのだから、濃さは７/８倍となります。
次に、２回目の操作終了後までについて考えます。
２回目の前半の操作終了後、食塩の量は変わらず、濃さ（食塩の量/食塩水の量）が４/５になったのだから、食塩水の量は２回目の操作の直前の５/４倍、つまり、加えた水の量は１回目の操作終了後の食塩水の量の１/４倍、つまり[８]×１/４＝[２]となっています。
また、２回目の操作終了後の食塩水の量は[４]×３＝[１２]となっています。
２回目までの操作全体は「１２％の食塩水[１２]－（[１]＋[２]）＝[９]に水[１]＋[２]＝[３]を加える」と読み替えることができます。
これ以降も同様に考えることができ、それを表で整理すると次のようになります。 ←１回の操作で加える水の量の規則性もすぐにわかりますね。
１２％ 水
①
[４] [１]
[３]
②
[８] [２]
[２]
③
[１２] [３]
[１]
④
[１６] [４]
[０]
（１）
求める濃さは
１２×７/８
＝２１/２％
となります。
（２）
最初の考察により、答えは１×５＝５kgとなります。
因みに、４回目の操作をしたときであることもすぐにわかりますね。
（３）
まず、４回目の操作終了後の食塩水の濃さを求めます。
水[１]＋[２]＋[３]＋[４]＝[１０]と１２％の食塩水[２０]－[１０]＝[１０]を混ぜたのだから、濃さは平均の６％となります。
４回目の操作終了後まではこの濃さが１番うすくなっています。 ←１回の操作ごとに水の割合が増えていき、しかも、４回目の操作で最後に１２％の食塩水を加えていないからです。
４回目の操作終了後は、１２％の食塩水を加えて濃くした後水を加えて薄くするという操作をしていますが、この操作をセットで考えると６％の食塩水を加えていることに他ならないから、食塩水が６％よりうすくなることはありません。
したがって、求める濃さは６％となります。