筑波大学附属駒場中学校２０１６年算数第４問（解答・解説）
（１）
いろいろな解法がありますが、変化量に注目して解くのが楽でしょう。
辺ＢＣを底辺とし、頂点Ｐが点ＤからＥまで移動すると考えます。
ＰがＤにあるときの三角形ＰＢＣの面積は三角形ＡＢＣの面積の２/５倍で、ＰがＥにあるときの三角形ＰＢＣの面積は三角形ＡＢＣの面積の３/５倍ですね。 ←三角形の高さ一定⇒三角形の面積比＝底辺比
ＰがＤからＥに３めもり移動する間に面積が三角形ＡＢＣの面積の３/５−２/５＝１/５倍だけ増えているので、ＰがＤからＥに２めもり移動する間には面積が三角形ＡＢＣの面積の１/５×２/３＝２/１５倍だけ増えます。
したがって、求める三角形ＰＢＣの面積は
１００×（２/５＋２/１５）
＝１００×８/１５
＝１６０/３cm2
となります。
（２）
Ｅを通り、ＦＧに平行な線を引き、この線分と辺ＡＢの交点をＨとします。
まず、三角形ＡＨＥと差角形ＡＦＧのピラミッド相似（相似比は、ＡＥ：ＡＧ＝１：２）に注目すると、ＨがＡＦの真ん中の点だとわかります。
次に、三角形ＤＥＨと三角形ＤＰＦのピラミッド相似（相似比は、ＤＨ：ＤＦ＝５：４）に注目すると、ＦＰ＝ＤＥ×４/５であることがわかります。
あとは、（１）と同様に変化量に注目して解くだけです。
求める三角形ＰＢＣの面積は
１００×（２/５＋１/５×４/５）
＝１００×１４/２５
＝５６cm2
となります。
なお、メネラウスの定理を知っていれば、次のように辺ＤＰとＰＥの比がすぐに求められます。
ＡＧ/ＧＥ×ＥＰ/ＰＤ×ＤＦ/ＦＡ＝１
４/２×ＥＰ/ＰＤ×２/１＝１
ＥＰ/ＰＤ＝１/４
（３）
ＥＰ、ＤＰは不自然に線が途中で止められているので、延長します。
直線ＥＰ、ＤＰと直線ＢＣの交点をそれぞれＱ、Ｒとします。
また、直線ＥＰと辺ＡＢの交点をＳとします。
三角形ＣＥＱ、ＤＢＲ、ＡＥＳはすべて正三角形の半分の三角定規の形ですね。
正三角形の半分の三角定規において、６０度を挟む辺の比が１：２であることから、図のようになることがわかります。
さらに、相似を作り出すため、点Ｄを通り辺ＢＣに平行な線を引き、この線とＥＰの交点をＴとします。
三角形ＳＱＢと三角形ＳＴＤのちょうちょ相似に注目すると、ＱＢ：ＴＤ＝ＳＱ：ＳＤ＝１：１ですね。
三角形ＰＱＲと三角形ＰＴＤは相似（ちょうちょ相似）で、相似比がＱＲ：ＴＤ＝５：１となり、高さの比も５：１となります。
結局、三角形ＰＢＣは、三角形ＡＢＣと底辺が等しく、高さが
２/５×５/６
＝１/３
となるから、面積も１/３となり、三角形ＰＢＣの面積は１００/３cm2となります。
