東海中学校２０１７年算数第６問（解答・解説）
（１）
二等辺三角形があるので、線対称の軸ＡＨを引きます。 ←二等辺三角形における線対称の軸は頻出の補助線の１つです。
ＧＣの長さを⑥とおくと、与えられた辺の比の条件より、図のようになります。 ←ＧＣの長さが３の倍数になり、ＢＥとＥＧとＧＣの長さの合計が偶数になるようにおきました。
直角三角形がたくさんあるので、角度に記号をつけ辺の比をチェックすると、直角をはさむ２辺の辺の比が２：１となる相似な直角三角形が複数登場することがわかりますね。
ＧＦの長さは⑥×２＝⑫となり、ＢＨの長さは（④＋⑧＋⑥）×１/２＝⑨となり、ＡＨの長さは⑨×２＝⑱となります。
ここで、ＤＩを引くと、三角形ＤＩＦは、直角をはさむ２辺の長さの比が⑧：（⑫－⑧）＝２：１となり、先ほどの相似な直角三角形と相似である（三角形ＤＥＢと合同ですね）ことが分かります。
ＡＢとＡＣの長さはともに１０×⑨/④＝４５/２cmとなり、ＦＣの長さは１０×⑥/④＝１５cmとなります。
したがって、三角形ＡＤＦの周りの長さは
ＡＤ＋ＤＦ＋ＡＦ
＝ＡＤ＋ＤＢ＋ＡＦ
＝ＡＢ＋ＡＣ－ＦＣ
＝４５/２×２ー１５
＝３０cm
となります。
（２）
ＡＦ、ＤＦの長さがそれぞれ４５/２－１５＝１５/２＝１５/２cm、１０cmで、角ＤＦＡが直角だから、三角形ＡＤＦの面積は１５/２×１０×１/２＝７５/２cm2となります。
したがって、三角形ＡＢＣの面積は
三角形ＡＤＦの面積×ＡＢ/ＡＤ×ＡＣ/ＡＦ ←いわゆる隣辺比の処理です。
＝７５/２×⑨/（⑨－④）×⑨/（⑨－⑥） ←相似な直角三角形の辺の比（「小」の辺の比）で処理しました。
＝７５/２×９/５×３
＝４０５/２cm2
となります。
上の解法では、三角形ＡＤＦが直角三角形（因みに、有名な直角三角形（辺の比が３：４：５の直角三角形）になっていますね）になっていることを利用して解きましたが、三角形ＤＢＥの面積を求めて解くこともできます（（１）の誘導がなければこの解法で解くことが普通でしょう）。
図２か図３をイメージすればすぐに求められるのでぜひやってみましょう。 ←東海中学校では過去に何回も出されています。
