東海中学校２０１８年算数第４問（解答・解説）
（２）から求めます。
（２）
（解法１）
三角形ＡＥＤと三角形ＤＦＣは合同ですね。
直角三角形がたくさん登場しているので、角度に記号をつけると、角ＦＧＤが直角であることが分かります。
四角形ＡＥＤＦにおいて、辺ＡＥと辺ＡＦの長さが等しく、角ＦＡＥと角ＥＧＦが直角で、角ＡＥＧの大きさと角ＡＦＧの大きさの和が１８０度だから、三角形ＡＧＦを点Ａを中心として時計回りに９０度回転すると、辺ＡＥと辺ＡＦが重なり、３点Ｆ、Ｅ、Ｇが一直線上に来て、直角二等辺三角形ができます。 ←算数オリンピックで何回も出されています。
したがって、（あ）の角度は１８０－４５＝１３５度となります。
（２）だけを解くのであれば、この解法が１番優れていると思いますが、（１）を解くことを考慮すれば、次の解法のほうが優れているかもしれません。
（解法２）
図のように、Ａから辺ＤＥに垂直な線ＡＨを引き、角度に記号をつけます。
三角形ＡＥＨと三角形ＤＡＨは相似（相似比はＡＥ：ＤＡ＝１：２）だから、ＥＨの長さを①とすると、ＡＨの長さは①×２＝②となり、ＤＨの長さは②×２＝④となります。
また、（解法１）からわかるように、角ＦＧＤは直角となり、三角形ＤＡＨと三角形ＤＦＧは相似（相似比はＤＡ：ＤＦ＝２：１）となるから、ＧＨの長さは④×（２－１）/２＝②となります。
三角形ＡＨＧはＡＨ＝ＧＨの直角二等辺三角形となるから、（あ）の角度は１８０－４５＝１３５度となります。
（１）
（２）の（解法２）と同様に考えると、ＦＧ：ＧＣ＝１：４となります。
三角形ＢＣＧの面積は
三角形ＢＣＦの面積×ＧＣ/（ＦＧ＋ＧＣ） ←三角形の底辺一定⇒面積比＝高さの比
＝２×２×１/２×４/（１＋４）
＝８/５cm2
となります。
