東海中学校２０２２年算数第４問（解答・解説）
誘導と思われる（１）を無視してメインの（２）の問題を解くと次のようになります。 ←ただし、（２）だけ出題するのであれば本来必要のない直線ＧＥとＣＥについては利用しました。
変化量（ここでは平均）と「高さの等しい三角形の面積比＝底辺の比」を利用して解きます。
三角形ＣＦＧ（ＢＦＧ）の面積を[１]とすると、三角形ＧＢＣ、三角形ＧＣＤ、三角形ＧＢＤの面積はそれぞれ[１]×３＝[３]、[１]×２＝[２]、[３]＋[２]＝[５]となります。
三角形ＥＧＣの面積は三角形三角形ＧＣＤの面積と三角形ＣＦＧの面積の平均となるから、（[１]＋[２]）/２＝[３/２]となり、ＢＨ：ＨＥ＝三角形ＧＢＣの面積：三角形ＥＧＣの面積＝[３]：[３/２]＝２：１となります。
また、三角形ＧＢＥの面積は三角形ＧＢＤの面積と三角形ＢＦＧの面積の平均となるから、（[１]＋[５]）/２＝[３]となります。 ←三角形ＧＢＥの面積は三角形ＧＢＣの面積と等しくなりますね。
したがって、三角形ＧＢＨの面積は
三角形ＧＢＥの面積×ＢＨ/（ＢＨ＋ＨＥ）
＝（６＋３）×７×１/２×２/（２＋１）
＝２１cm2
となります。
上の変化量を用いた解法では、長方形の面積と辺の比さえ分かっていれば三角形ＧＢＥの面積が求められますね。
なお、誘導に従って解くと次のようになります。
（１）
垂直な補助線ＧＫとＥＬを引きます。
ＧＫ＝ＡＢ＝７cm、ＢＫ＝ＡＧ＝６cmとなります。
また、三角形ＥＬＤと三角形ＦＣＤのピラミッド相似（相似比はＥＤ：ＦＤ＝１：（１＋１）＝１：２）に着目すると、ＥＬ＝７×１/２＝７/２cm、ＬＤ＝６×１/２＝３cm、ＣＬ＝６−３＝３cmとなります。
さらに、三角形ＭＢＫと三角形ＥＢＬのピラミッド相似（相似比はＢＫ：ＢＬ＝６：（６＋３＋３）＝１：２）に着目すると、ＭＫ＝７/２×１/２＝７/４cmとなり、ＭＧ＝７−７/４＝２１/４cmとなります。
さらにまた、三角形ＥＧＭと三角形ＥＪＩのピラミッド相似（相似比は、底辺をＭＧ、ＩＪと考えたときの高さの比を考えると、ＫＬ：ＣＬ＝（３＋３）：３＝２：１）に着目すると、ＩＪ＝
２１/４×１/２＝２１/８cmとなります。
（２）
三角形ＢＫＧと三角形ＣＬＥは、角ＢＫＧ＝角ＣＬＥ＝９０度で、ＢＫ：ＣＬ＝ＧＫ：ＥＬ＝２：１だから（２辺の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから）、相似で、対応する角度が等しくなり、角ＧＢＫ＝角ＥＣＬとなります。
同位角が等しいから、ＧＢとＥＣは平行となります。
三角形ＨＧＢと三角形ＨＣＥのちょうちょ相似（平行線の錯角に着目すると、２組の角がそれぞれ等しくなるからです。相似比はＧＢ：ＣＥ＝２：１となります）に着目すると、ＧＨ：ＣＨ＝２：１となります。
したがって、三角形ＧＢＨの面積は
三角形ＢＣＧの面積×ＧＨ/（ＧＨ＋ＣＨ）
＝９×７×１/２×２/（２＋１）
＝２１cm2
となります。
