東海中学校２０２４年算数第４問（解答・解説）
直角三角形がたくさんあるので、角度に記号をつけると、三角形ＡＢＥと三角形ＢＣＦが合同であり、点Ｆが辺ＣＤの真ん中の点であることがすぐにわかりますね。
過去問（東海中学校２０１８年算数第４問）を少しアレンジした問題ですね。
上の過去問の解説で紹介した解き方とは異なる解き方で解いてみます。
（２）
正方形の各辺の真ん中の点と正方形の各頂点を図のように結びます。
黄色の直角三角形と黄色と黄緑色を合わせた直角三角形は相似で、相似比が１：２だから、図のピンク色の・は斜辺（直角の向かいの辺）を５等分する点となります。 ←因（ちな）みに、水色の正方形と黄色と黄緑色を合わせた直角三角形の面積は等しくなります。
この図において、問題文の図のＤＧに相当する線を引くと、紫色の直角三角形とオレンジ色の三角形は合同となります。 ←ちょうちょ相似で、相似比が１：１だからです。
したがって、オレンジ色の直角三角形と黄色の直角三角形は合同となります。 ←直角を挟む辺の比が１：２で、２に相当する辺を共有するからです。
結局、ＤＧの長さはＤＡの長さと等しくなるから、ＤＧの長さは２４cmとなります。 ←ＡＧの真ん中の点をＨとすると、三角形ＤＧＨと三角形ＤＡＨは合同となりますね。
（１）
三角形ＡＢＧと三角形ＡＧＦは、高さが等しく（ＡＧ）、底辺の比がＢＧ：ＧＦ＝２：３だから、面積の比も２：３となります。
三角形ＡＧＤの面積は三角形ＤＡＨ（三角形ＡＢＧと合同）の面積の２倍となります。
したがって、三角形ＡＧＦと三角形ＡＧＤの面積の比＝３：（２×２）＝３：４となります。
