東海中学校２０２５年算数第４問（解答・解説）
ＡＦとＤＥが交わった点をＨとします。
ＥＣ：ＤＦ＝４：５で、ＢＥ：ＥＣ＝１：２＝２：４だから、ＢＥの長さを２として長さを書き込むと下の図のようになります。
（１）
三角形ＡＢＧと三角形ＤＦＧの面積の差は、三角形ＡＢＦと三角形ＤＦＢの面積の差と等しくなります。 ←同じもの（三角形ＢＦＧの面積）をつけたしても差は変わりませんね。
三角形ＡＢＦと三角形ＤＦＢは、底辺（ＢＦ）が等しく、高さの比が正三角形ＡＢＣの高さ：正三角形ＤＥＦの高さ（２つの正三角形の相似比にほかなりませんね）＝６：９＝２：３だから、面積の比は２：３＝②：③となります。 ←三角形の底辺一定⇒面積比＝高さの比
③－②＝①が２２cm2だから、三角形ＡＢＦの面積（②）は２２×②/①＝４４cm2となります。
（２）
２点Ａ、Ｄを直線で結びます。
三角形ＡＢＦと三角形ＨＥＦのピラミッド相似（相似比はＢＦ：ＥＦ＝１１：９）に着目すると、ＨＥ＝６×９/１１＝５４/１１となり、ＤＨ＝９－５４/１１＝４５/１１となります。 ←角ＡＢＦ＝角ＤＥＦ＝６０度（同位角が等しい）だから、ＡＢとＨＥは平行となりますね。
三角形ＡＢＧと三角形ＤＨＧのちょうちょ相似（相似比はＡＢ：ＤＨ＝６：４５/１１＝２２：１５）に着目すると、ＢＧ：ＤＧ＝２２：１５となり、高さの等しい三角形ＡＢＧと三角形ＡＧＤの面積比は２２：１５＝[２２]：[１５]となります。 ←三角形の高さ一定⇒面積比＝底辺の比
三角形ＡＢＤの面積は、等積変形すると、三角形ＡＢＥの面積と等しくなります。
高さの等しい三角形ＡＢＥと三角形ＡＢＦの面積比は、底辺の比ＢＥ：ＢＦ＝２：１１と等しくなります。 ←三角形の高さ一定⇒面積比＝底辺の比
したがって、三角形ＡＢＧの面積は
４４×２/１１×[２２]/[３７]
＝１７６/３７cm2
となります。
