洛星中学校２００２年後期算数２第１問（解答・解説）
百の位の数をＡ、十の位の数をＢ、一の位の数をＣとします。
３けたの整数は
Ａ×１００＋Ｂ×１０＋Ｃ
＝Ａ×（９９＋１）＋Ｂ×（９＋１）＋Ｃ ←９の倍数を作り出そうとしています。
＝Ａ×９９＋Ａ＋Ｂ×９＋Ｂ＋Ｃ ←分配法則を使いました。
＝９×（Ａ×１１＋Ｂ）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ） ←Ａ×９９＋Ｂ×９の部分で、分配法則の逆を使いました。
となります。
９×（Ａ×１１＋Ｂ）は９の倍数だから、Ａ＋Ｂ＋Ｃが９の倍数（０も含みます）であれば、３けたの整数「Ａ×１００＋Ｂ×１０＋Ｃ」も９の倍数となります。
なお、上の証明は桁数が増えても同様にすることができます。
（参考１）
３の倍数判定法も同様に示すことができます。
百の位の数をＡ、十の位の数をＢ、一の位の数をＣとします。
３けたの整数は
Ａ×１００＋Ｂ×１０＋Ｃ
＝Ａ×（９９＋１）＋Ｂ×（９＋１）＋Ｃ ←３の倍数を作り出すために、とりあえず９の倍数を作り出しました。
＝Ａ×９９＋Ａ＋Ｂ×９＋Ｂ＋Ｃ ←分配法則を使いました。
＝３×（Ａ×３３＋Ｂ×３）＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ） ←Ａ×９９＋Ｂ×９の部分で、分配法則の逆を使いました。
となります。
３×（Ａ×３３＋Ｂ×３）は３の倍数だから、Ａ＋Ｂ＋Ｃが３の倍数（０も含みます）であれば、３けたの整数「Ａ×１００＋Ｂ×１０＋Ｃ」も３の倍数となります。
なお、上の証明は桁数が増えても同様にすることができます。
（参考２）
１１の倍数判定法も同様に示すことができます。
ここでは、４桁の整数について考えてみましょう。
千の位の数をＡ、百の位の数をＢ、十の位の数をＣ、一の位の数をＤとします。
４けたの整数は
Ａ×１０００＋Ｂ×１００＋Ｃ×１０＋Ｄ
＝Ａ×（１００１−１）＋Ｂ×（９９＋１）＋Ｃ×（１１−１）＋Ｄ ←１１の倍数を作り出そうとしています。１００１＝７×１１×１３は覚えておきましょう。
＝Ａ×１００１−Ａ＋Ｂ×９９＋Ｂ＋Ｃ×１１−Ｃ＋Ｄ ←分配法則を使いました。
＝１１×（Ａ×９１＋Ｂ×９＋Ｃ）＋（Ｂ＋Ｄ）−（Ａ＋Ｃ） ←Ａ×１００１＋Ｂ×９９＋Ｃ×１１の部分で、分配法則の逆を使いました。
となります。
１１×（Ａ×９１＋Ｂ×９＋Ｃ）は１１の倍数だから、（Ｂ＋Ｄ）−（Ａ＋Ｃ）が１１の倍数（一の位から奇数番目の数の和をＰ、偶数番目の数の和をＱとすると、ＰとＱの差が１１の倍数（０も含みます）であれば、４けたの整数「Ａ×１０００＋Ｂ×１００＋Ｃ×１０＋Ｄ」も１１の倍数となります。
なお、上の証明は桁数が増えても同様にすることができます。