洛星中学校２０１０年前期算数第３問（解答・解説）
全部[７]のカードであれば、数字の合計は７×１５＝１０５となります。
実際の数字の合計は７９だから、１０５−７９＝２６減らす必要があります。
そこで、次の交換を考え、数字の合計を減らします。
（Ａ）[７]→[２] ５減
（Ｂ）[７]→[５] ２減
２６、２が偶数だから、（Ａ）は２回ずつ使う必要があります。 ←偶奇性を利用しました。
交換枚数が少なくて済む（Ａ）をなるべく多く使えばいいですね。
（Ａ）は最大４回しか使えないので、（Ａ）４回（５×４＝２０減）、（Ｂ）は３回（２×３＝６減）使えばいいですね。
したがって、[７]のカードの枚数が最大となるとき、[２]は４枚、[５]は３枚、[７]は８枚となります。
この問題は、[７]のカードの枚数が最大となる場合だけを答えればよかったので、上の解法がベストですが、すべての場合を答えるのであれば、次のように、不定方程式を解いてもよいでしょう。
（別解）
すべてのカードの数字を２減らします。
５（○枚）、３（△枚）、０（□枚）のカードが合計１５枚あり、その数字の和が７９−２×１５＝４９ということですね。
５×○＋３×△＋０×□＝４９
５×○＋３×△＝４９
４９は５で割ると４余る数、５×○は５の倍数だから、３×△は５で割ると４余る数、つまり、一の位の数が４か９の数になります。 ←倍数条件を考慮しました。
あとは、△が５増えると、○が３減ることに着目して、△＋○が１５になるまで機械的に書き出すだけです（○は残りの枚数になります）。
△ ３ ８ １３
○ ８ ５ ２
□ ４ ２ ０（以下略）