洛星中学校２０１２年前期算数第２問（解答・解説）
（１）
１１２を素因数分解します。
２）１１２
７） ５６
２×２×２
１１２＝２×２×２×２×７となります。
連続２整数は互いに素（最大公約数が１）だから、２整数のうち一方が素因数２をすべて持つことになり、１６の倍数となります。
また、少なくとも一方は７の倍数となりますが、７の倍数で、しかも１６の倍数となるものは１１２以上なので、２桁という条件を満たしません。
結局、２整数のうち一方が７の倍数（ただし、奇数）で、他方が１６の倍数となります。
１６の倍数を書き出して、前後の整数が条件を満たすものを探します。
１６→１５×、１７×
１６×２＝３２→３１×、３３×
１６×３＝４８→４７×、４９〇
１６×４＝６４→６３〇、６５×
１６×５＝８０→７９×、８１×
１６×６＝９６→９５×、９７× ←１６×７以上は、２桁という条件を満たしませんね。
したがって、答えは（４８，４９）、（６３，６４）となります。
なお、最後のところは、１６の倍数で７で割ると１か６余る数（７×奇数±１と表されるもの）を探してもよいでしょう。
１６×
１６×２＝３２×
１６×３＝４８＝４９−１○
１６×４＝６４＝６３＋１○
１６×５＝８０×
１６×６＝９６×
１６×７以上×
（２）
１６０を素因数分解すると、１６０＝１６×１０＝２×２×２×２×２×５となります。 ←「九九の逆」を利用して素早く素因数分解しました。
連続する２つの偶数の最大公約数は２だから、一方だけが４の倍数となります。
２整数のうち、一方（Ａとします）は２×（奇数）で、もう一方（Ｂとします）は２×２×２×２＝１６の倍数となります。
また、２整数のうち、どちらか一方のみが５の倍数となります。
（あ）Ａが５の倍数のとき
Ａは１０×（奇数）となります。
１６の倍数（Ｂ）を書き出して、前後の偶数が条件を満たすものを探します。
１６× ←１０で割ると２か８余る数（一の位が２か８の数）のみ条件を満たしますね（１０の倍数判定法を利用しました）。
３２→３０〇
４８→５０〇
６４×
８０×
９６×
（い）Ｂが５の倍数のとき
Ｂは８０の倍数となります。
８０の倍数を書き出して、前後の偶数が条件を満たすものを探します。
８０→７８〇、８２〇 ←最初に述べたことから、８０の前後の偶数が条件を満たすことは分かっていますね。
以上（あ）、（い）より、答えは（３０，３２）、（４８，５０）、（７８，８０）、（８０，８２）となります。
（３）
２３０４を素因数分解します。
２×２）２３０４ ←４の倍数判定法を利用しました。
３×３） ５７６ ←９の倍数判定法を利用しました。
６４ ←６４＝８×８とすればすぐに素因数分解できますね。
２３０４＝２×２×２×２×２×２×２×２×３×３となります。
連続する３の倍数は差が３になりますが、両方とも偶数になるためには差が６になる必要があります。
したがって、差が２、４である、連続する３個の偶数に３の倍数は１個だけしか含まれないから、１個は９の倍数となります。
差が２、４である、連続する３個の偶数に４の倍数が３個含まれることはないから、４の倍数は１個または２個になります。
また、８の倍数が１個だけ含まれます。
（あ）４の倍数が１個の場合
真ん中の偶数が４の倍数になりますね。
最小の偶数と最大の偶数にはそれぞれ素因数２が１個だけ含まれるから、真ん中の偶数には素因数２が６個含まれることになり、真ん中の偶数は２×２×２×２×２×２＝６４の倍数となります。
９の倍数で、しかも６４の倍数となるものは５７６以上なので、２００以下という条件を満たしません。
結局、最小の偶数と最大の偶数のうち一方が９の倍数となります。
６４の倍数を書き出して、前後の偶数が条件を満たすものを探します。
６４→（６２，６４，６６）×
６４×２＝１２８→（１２６,１２８，１３０）○
６４×３× ←３の倍数だから条件を満たしませんね。
６４×４× ←２００以下という条件を満たしませんね。６４×５以上も同様です。
したがって、この場合は、（１２６，１２８，１３０）が条件を満たします。
（い）４の倍数が２個の場合
両端がともに４の倍数（１個だけ８の倍数）となります。
連続する３つの偶数は、４×（奇数）、２×（奇数）、２×２×２×２×２＝３２の倍数となります。 ←小さい順もしくは大きい順になります。
３２の倍数を書き出して、条件を満たすものを探します。
３２→（３２，３４，３６）〇、（２８，３０，３２）×
３２×２＝６４→（６４，６６，６８）×、（６０，６２，６４）×
３２×３× ←３の倍数で９の倍数でないから条件を満たしませんね。
３２×４＝１２８→（１２８，１３０，１３２）×、（１２４，１２６，１２８）〇
３２×５＝１６０→（１６０，１６２，１６４）〇、（１５６，１５８，１６０）×
３２×６× ←３の倍数で９の倍数でないから条件を満たしませんね。
３２×７× ←２００以下という条件を満たしませんね。３２×８以上も同様です。
したがって、この場合は、（３２，３４，３６）、（１２４，１２６，１２８）、（１６０，１６２，１６４）が条件を満たします。
以上（あ）、（い）より、答えは（３２，３４，３６）、（１２４，１２６，１２８）、（１２６，１２８，１３０）、（１６０，１６２，１６４）となります。