洛星中学校２０１９年前期算数第６問（解答・解説）
（１）
問題の操作をするだけです。
答えは１００→３３→１１→３→１→０となります。
（２）
３、３×３、３×３×３、３×３×３×３、・・・はそれぞれ操作２回、３回、４回、５回、・・・で終了します。
したがって、ちょうど操作４回で終了する整数は３×３×３＝２７以上３×３×３×３＝８１未満のものだから、最大のものは８０となり、全部で８０−２６＝５４個あります。
（３）（４）
３で割ったときの余りが２となる場合に整数が大きくなり、３で割ったときの余りが０となる場合に整数が小さくなります。
上限と下限をチェックしていくと、
４→３×４＋２＝１４→３×１４＋２＝４４→３×４４＋２＝１３４→３×１３４＋２＝４０４→３×４０４＋２＝１２１４→３×１２１４＋２＝３６４４→３×３６４４＋２＞１００００
４→３×４＝１２→３×１２＝３６→３×３６＝１０８→３×１０８＝３２４→３×３２４＝９７２→３×９７２＝２９１６→３×２９１６＝８７４８
となり、操作の途中で４が現れるような整数（４を含む）で１００００以下のものは
４・・・１個
１２〜１４・・・３個
３６〜４４・・・９個 ←この時点で規則性が読み取れますね。
１０８〜１３４・・・２７個
３２４〜４０４・・・８１個
９７２〜１２１４・・・２４３個
２９１６〜３６４４・・・７２９個
８７４８〜１００００・・・１２５３個 ←１００００以下であることに注意しましょう。
となり、全部で
１＋３＋９＋２７＋８１＋２４３＋７２９＋１２５３ ←１から７２９までの和は等比数列の和の求め方を利用して求めることもできますが、１＋９＝１０、３＋２７＝３０、８１＋７２９＝８１０、２４３＋１２５３＝１４９６というようにうまく組み合わせて和を求めたほうが楽でしょう。
＝２３４６個
あり、そのうち５００以下で最大のものは４０４となります。
なお、（３）だけを先に解くときに、上限だけをチェック（４→３×４＋２＝１４→３×１４＋２＝４４→３×４４＋２＝１３４→３×１３４＋２＝４０４）して答えを４０４とするのは論理的に正しくありません。
そのことは、４００以下の最大のものを求める際に、上限だけをチェックして答えを１３４とするのが正しくないのと同じことです。