四天王寺中学校２０２３年算数第３問（解答・解説）
（１）
対称性により、正方形ＡＢＣＤの対角線ＡＣを結ぶと３点Ａ、Ｇ、Ｃは一直線になります。
三角形ＢＧＣと三角形ＦＧＡは相似（相似比はＢＣ：ＦＡ＝２：１）だから、ＢＧ：ＧＦ＝２：１となります。
（２）
直角三角形ＢＣＥと直角三角形ＡＢＦが合同であることに着目し角度に記号を付けると、直角三角形ＢＣＥと直角三角形ＨＢＥと直角三角形ＨＣＢは相似（辺の比は、小：中＝ＥＢ：ＢＣ＝１：２）となることがわかります。
ＥＨ＝①とすると、ＢＨ＝①×２＝②となり、ＣＨ＝②×２＝④となり、ＢＦ＝ＣＥ＝①＋④＝⑤となります。
したがって、ＢＨ：ＨＦ＝②：（⑤－②）＝２：３となります。
（３）
ＢＦ＝１５とすると、 ←２＋１＝３と２＋３＝５の最小公倍数でおきました。
ＢＨ：ＨＧ：ＧＦ
＝（１５×２/５）：ＨＧ：（１５×１/３）
＝６：（１５－６－５）：５
＝６：４：５
となります。
したがって、三角形ＣＧＨの面積は
三角形ＣＦＢの面積×ＨＧ/ＢＦ ←三角形の高さ一定⇒面積比＝底辺の比
＝３０×１/２×４/１５
＝４cm2
となります。
なお、（３）だけを解くのであれば、正方形ＡＢＣＤの対角線を結び、三角形ＡＥＧと三角形ＣＤＧの相似（相似比はＡＥ：ＣＤ＝１：２）からＤＧ：ＧＥ＝２：１と求め、（２）と同様にして（あるいは、直角三角形ＨＢＥと直角三角形ＨＣＢの面積比＝（１×１）：（２×２）＝１：４となることを利用して）、ＥＨ：ＨＣ＝１：４を求めた後、三角形ＣＧＨの面積＝三角形ＥＣＤの面積×ＥＧ/ＥＤ×ＨＣ/ＣＥ＝３０×１/２×１/（１＋２）×４/（１＋４）＝４cm2としたほうが楽でしょう。