四天王寺中学校２０２３年算数第４問（解答・解説）
代表者の得票数として考えられるのは（Ｐ）５票、（Ｑ）４票、（Ｒ）３票、（Ｓ）２票となりますね。
①
これは（Ｒ）の場合ですね。
（あ）５人の得票数が３、２、０、０、０の場合
（い）５人の得票数が３、１、１、０、０の場合
（あ）の場合、２票が誰になるかで４通りあります。
（い）の場合、１票が４人のうちどの２人になるかで（４×３）/（２×１）＝６通りあります。
したがって、全部で
４＋６
＝１０通り
あります。
②
（Ｐ）の場合、５人の得票数が５、０、０、０、０の１通りですね。
（Ｑ）の場合、５人の得票数が４、１、０、０、０で、①の（あ）の場合同様４通りあります。 ←３が４に、２が１になっただけですね。条件の対等性を利用して作業を減らす！
（Ｓ）の場合、５人の得票数が２、１、１、１、０で、①の（あ）の場合同様４通りあります。 ←３が０に、０が１になっただけですね。
したがって、全部で
１＋４＋１０＋４
＝１９通り
あります。
③
すべての場合の数から、条件を満たさない場合の数を引いて求めます（余事象）。
Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅのそれぞれが代表者となる場合もＡ同様１９通りずつあります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
すべての場合は、５票をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人のうちだれに割り振るかを考えると、
（９×８×７×６）/（４×３×２×１） ←重複組合せの問題ですが、組合せで処理します。〇５個としきり（/)４個を並べ、各仕切りで区切られた部分の〇の個数を左から順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの得票数と考えます。例えば、〇〇/〇//〇/〇であれば、Ａ２票、Ｂ１票、Ｃ０票、Ｄ１票、Ｅ１票となります。
＝１２６通り
あり、このうち代表者が決まる場合が
１９×５
＝９５通り
あるから、代表者が決まらない場合は
１２６－９５
＝３１通り
あります。