四天王寺中学校１９９８年算数Ｂ第５問（解答・解説）
（１）
角度の和を求める問題です。
角度の和を求める問題では、角度を１つの場所に集めるのがポイントです。
この問題の場合、三角形の外角がたくさんありますね。
まず青い部分（三角形の外角）に注目すると、〇が
ア＋カ
になっていることがわかります。
次に赤い部分（三角形の外角）に注目すると、×が
イ＋キ
になっていることがわかります。
最後に黄緑色の部分（ブーメラン～（☆）を参照）に注目すると、☆が
ウ＋オ＋ク
になっていることがわかります。
結局、ア～クの８つの角の合計は、四角形の内角の和になっているから、
３６０度
上の解法では、エのところに角を集めましたが、エ以外のところに集めることもできます。
（☆）
（別解）
ア～クの８つの角の合計が 「たしすぎたら、ひく」
三角形ＢＧＰの内角の和
＋三角形ＣＨＱの内角の和
＋三角形ＢＲＤの内角の和
＋三角形ＦＳＡの内角の和
－平行四辺形（四角形）ＰＱＲＳの内角の和
になっていることを利用して、
１８０×４－１８０×２
＝１８０×（４－２）
＝３６０度
としてもいいでしょう。
四天の出題者の意図はたぶんこちらの解法でしょうね。
（２）
平行四辺形ＰＱＲＳを分断する直線ＤＥ、ＢＧ、ＡＦ、ＣＨを除いた図を描くのがいいでしょう。
黄緑色のピラミッド相似（三角形ＡＰＨと三角形ＡＳＤ）に注目すると
ＰＨ：ＳＤ＝１：２
だから、ＰＨ＝①とすると、ＳＤ＝②となります。
ここで、青色のピラミッド相似（三角形ＤＳＧと三角形ＤＲＣ）に注目すると
ＤＳ：ＳＲ
＝ＤＳ：（ＤＲ－ＤＳ）
＝１：（２－１）＝１：１
だから、ＳＲ＝②となります。
また上の図形が点対称図形であることに注目すると
ＲＦ＝ＰＨ＝① 対称性を利用して作業を減らす！！
ＰＱ＝ＳＲ＝②
ＱＢ＝ＳＤ＝②
あとは、（平行線と面積比）の知識を利用するだけです。
平行四辺形ＰＱＲＳの面積
＝平行四辺形ＨＢＦＤの面積×（②×２）/｛（①＋②＋②）×２｝
＝平行四辺形ＨＢＦＤの面積×２/５
＝平行四辺形ＡＢＣＤの面積×（１×２）/（２×２）×２/５
＝平行四辺形ＡＢＣＤの面積×１/５
だから、
平行四辺形ＰＱＲＳの面積：平行四辺形ＡＢＣＤの面積
＝１：５
（平行線と面積比）
下の図の面積比は、いずれも「上底＋下底」の比で処理できます（長方形も平行四辺形も台形だから、左の２つですべて処理できます。また、三角形を上底０の台形と考えると、すべてを台形として処理できますね）。
面積比は
（a＋０）：（ｂ＋ｃ）：（ｄ＋ｄ）：（e＋e）
となります。
（別解）
平行四辺形の特殊な場合（正方形）で考えると、簡単に解けます。
理論的には正しくはないですが、答えは求まります。
図の水色の部分の直角三角形を図の赤紫色の部分に移動する（対称性により、他の水色の部分も同様にできます）と、図の中の大きな正方形は小さな正方形５個分になっていることがわかりますね。
