早稲田大学２０１５年政治経済学部数学第３問（解答・解説）
（１）
Ａがどの帽子を受け取るかで５通りあり、そのそれぞれに対して、Ｂがどの帽子を受け取るかで４通りあり、そのそれぞれに対して、Ｃがどの帽子を受け取るかで３通りあり、そのそれぞれに対して、Ｄがどの帽子を受け取るかで２通りあり、そのそれぞれに対して、Ｅがどの帽子を受け取るかで１通りあるから、帽子を配る方法は全部で
５×４×３×２×１ ←順列ですね。
＝１２０通り
あります。
そのうち、Ａが自分の帽子を受けとるのは、Ａ以外の４人がそれぞれどの帽子を受け取るかを上と同様に考えると
４×３×２×１ ←順列ですね。
＝２４通り
あり、条件の対等性により、Ｂが自分の帽子を受けとるのも同様に２４通りあります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
ＡとＢがともに自分の帽子を受けとるのは、Ａ、Ｂ以外の３人がそれぞれどの帽子を受け取るかを上と同様に考えると
３×２×１ ←順列ですね。
＝６通り
あります。
したがって、Ａが自分の帽子を受けとらず、かつＢも自分の帽子を受け取らない場合は
すべての場合の数−ＡまたはＢが自分の帽子を受け取る場合の数
＝すべての場合の数−（Ａが自分の帽子を受け取る場合の数＋Ｂが自分の帽子を受け取る場合の数−ＡもＢも自分の帽子を受け取る場合の数） ←余事象ですね。わかりにくければヴェン図をかきましょう。
＝１２０−（２４＋２４−６）
＝７８通り
あります。
（２）
（１）と同様の解法で解きます。
条件の対等性より、Ｃが自分の帽子を受け取る場合の数は、Ａが自分の帽子を受け取る場合の数同様２４通りあり、ＢもＣも自分の帽子を受け取る場合の数とＣもＡも自分の帽子を受け取る場合の数は、ＡもＢも自分の帽子を受け取る場合の数同様６通りあります。←条件の対等性を利用して作業を減らす！
さらに、ＡもＢもＣも自分の帽子を受け取る場合の数は、Ａ、Ｂ、Ｃ以外の２人がそれぞれどの帽子を受け取るかを考えると２通りあります。
したがって、Ａ、Ｂ、Ｃの３人が誰も自分の帽子を受けとらない場合は
すべての場合の数−ＡまたはＢまたはＣが自分の帽子を受け取る場合の数
＝すべての場合の数−（Ａが自分の帽子を受け取る場合の数＋Ｂが自分の帽子を受け取る場合の数＋Ｃが自分の帽子を受け取る場合の数−ＡもＢも自分の帽子を受け取る場合の数−ＢもＣも自分の帽子を受け取る場合の数−ＣもＡも自分の帽子を受け取る場合の数＋ＡもＢもＣも自分の帽子を受け取る場合の数）
合の数） ←余事象ですね。わかりにくければヴェン図をかきましょう。洛南高校附属中学校２００４年算数Ａ第４問の解答・解説の説明を読めば、包除原理の意味がよくわかるでしょう。
＝１２０−（２４＋２４＋２４−６−６−６＋２）
＝６４通り
あります。