早稲田大学2015年政治経済学部第3問(解答・解説)

(1)
Aがどの帽子を受け取るかで5通りあり、そのそれぞれに対して、Bがどの帽子を受け取るかで4通りあり、そのそれぞれに対して、Cがどの帽子を受け取るかで3通りあり、そのそれぞれに対して、Dがどの帽子を受け取るかで2通りあり、そのそれぞれに対して、Eがどの帽子を受け取るかで1通りあるから、帽子を配る方法は全部で
  5×4×3×2×1 ←順列ですね。
 =120通り
あります。
そのうち、Aが自分の帽子を受けとるのは、A以外の4人がそれぞれどの帽子を受け取るかを上と同様に考えると
  4×3×2×1 ←順列ですね。
 =24通り
あり、条件の対等性により、Bが自分の帽子を受けとるのも同様に24通りあります。 条件の対等性を利用して作業を減らす!
AとBがともに自分の帽子を受けとるのは、A、B以外の3人がそれぞれどの帽子を受け取るかを上と同様に考えると
  3×2×1 ←順列ですね。
 =6通り
あります。
したがって、Aが自分の帽子を受けとらず、かつBも自分の帽子を受け取らない場合は
  すべての場合の数−AまたはBが自分の帽子を受け取る場合の数
 =すべての場合の数−(Aが自分の帽子を受け取る場合の数+Bが自分の帽子を受け取る場合の数−AもBも自分の帽子を受け取る場合の数) ←余事象ですね。わかりにくければヴェン図をかきましょう。
 =120−(24+24−6)
 =78通り
あります。
(2)
(1)と同様の解法で解きます。
条件の対等性より、Cが自分の帽子を受け取る場合の数は、Aが自分の帽子を受け取る場合の数同様24通りあり、BもCも自分の帽子を受け取る場合の数とCもAも自分の帽子を受け取る場合の数は、AもBも自分の帽子を受け取る場合の数同様6通りあります。条件の対等性を利用して作業を減らす!
さらに、AもBもCも自分の帽子を受け取る場合の数は、A、B、C以外の2人がそれぞれどの帽子を受け取るかを考えると2通りあります。
したがって、A、B、Cの3人が誰も自分の帽子を受けとらない場合は
  すべての場合の数−AまたはBまたはCが自分の帽子を受け取る場合の数
 =すべての場合の数−(Aが自分の帽子を受け取る場合の数+Bが自分の帽子を受け取る場合の数+Cが自分の帽子を受け取る場合の数−AもBも自分の帽子を受け取る場合の数−BもCも自分の帽子を受け取る場合の数−CもAも自分の帽子を受け取る場合の数+AもBもCも自分の帽子を受け取る場合の数)
合の数) ←余事象ですね。わかりにくければヴェン図をかきましょう。洛南高校附属中学校04年A第4問の解答・解説の説明を読めば、包除原理の意味がよくわかるでしょう。
 =120−(24+24+24−6−6−6+2)
 =64通り
あります。

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