神戸大学２０２０年理系数学第３問・文系数学第３問（解答・解説）
（１）
２つの自然数をｘ、ｙとします。
（解法１）
ｘ−ｙというように書き出していくと、１−２９、２−２８、３−２７、・・・、２９−１となり、求める総数は２９組となります。
（解法２）
〇を３０個並べ、２９個の間のうち１個を選んで/を置き、その左側をｘ、右側をｙとすると考えればよいから、求める総数は２９組となります。
（２）
３つの自然数をｘ、ｙ、ｚとします。
（解法１）
ｘ−ｙ−ｚというように書き出していくと、すぐに規則性が見つかります。
１−１−２８ ２−１−２７ ３−１−２６ ・・・ ２７−１−２ ２８−１−１
２−２７ ２−２６ ２−２５ ・・・ ２−１
・・・・ ・・・・ ・・・・ ・・・
・・・・ ・・・・ ２６−１
・・・・ ２７−１
・・・・
２８−１
求める総数は
２８＋２７＋・・・＋２＋１
＝（２８＋１）×２８×１/２ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝４０６組
となります。
（解法２）
〇を３０個並べ、２９個の間うち２個を選んで/を置き、その１番左側をｘ、真ん中をｙ、右側をｚとすると考えればよいから、求める総数は
（２９×２８）/（２×１）
＝４０６組
となります。
（３）
３つの自然数をｘ、ｙ、ｚとします。
（解法１）
ｘ−ｙ−ｚというように書き出していくと、規則性が見つかります。
１− １−２８ ２− ２−２６ ３− ３−２４ ４− ４−２２ ・・・ ９− ９−１２ １０−１０−１０
２−２７ ３−２５ ４−２３ ・・・・・ ・・・ １０−１１
・・・・・ ・・・・・ ・・・・・ １３−１３
・・・・・ ・・・・・ １３−１４
・・・・・ １４−１４
１４−１５
求める総数は
１４＋１３
＋１１＋１０ ←数を縦に見ると、３ずつ減っていますね。
＋ ８＋ ７
＋ ５＋ ４
＋ ２＋ １
４０＋３５ ←真ん中の数（平均）×個数＝総和を利用しました。
＝７５組
となります。
（解法２）
（２）の４０６組には
（あ）３つの数が同じ場合
（い）３つの数のうち２つだけが同じ場合
（う）３つの数がすべて異なる場合
があり、（あ）の場合は１回だけカウント、（い）の場合は２回カウント、（う）の場合は３×２×１＝６回カウントされています。
すべての場合を１回だけカウントするのが本問になります。
（あ）の場合
１０−１０−１０の１組だけですね。
（い）の場合
１−１−２８、２−２−２６、・・・、１４−１４−２（１０−１０−１０は除外）の１３組あります。
（２）の問題では、ｘ＝ｙ、ｙ＝ｚ、ｚ＝ｘの場合がカウントされ、１３×３＝３９組としてカウントされています。
（う）の場合
（２）の問題では、４０６−（１＋３９）＝３６６組としてカウントされているので、本問では３６６/６＝６１組としてカウントすることになります。
したがって、求める総数は
１＋１３＋６１
＝７５組
となります。
（解法３）
１≦ｘ≦ｙ≦ｚ≦２８となりますね。
yを固定したときに、ｘ、ｚの組み合わせが何通りあるか考えます。
ｘ ｙ
１ １
１〜２ ２
１〜３ ３
・・・・・・・・
１〜１０ １０
１〜８ １１ ←ｚが１１以上だから、ｘの上限が決まります（以下同様）。
１〜６ １２
１〜４ １３
１、２ １４
したがって、求める総数は
１＋２＋３＋４＋・・・＋１０＋８＋６＋４＋２
＝５５＋２０ ←１から１０までの整数の和が５５となることを利用しました。
＝７５
となります。
過去に東大で同様の問題（東京大学１９９６年後期理科数学第１問）が出されているので、ぜひ解いてみましょう。