フェリス女学院中学校04年第5問(解答・解説)


 1、 2、 4、 8、 16、・・・
  ×2 ×2 ×2 ×2 ・・・
等比数列と呼ばれる規則性であることはすぐにわかりますね。
1番目は2を0個、2番目は2を1個、3番目は2を2個、4番目は2を3個、5番目は2を4個、・・・、N番目は2を(N−1)個かけたものになっていることはすぐにわかりますね。 ←番号と2の個数がうまく対応(番号−1=2をかけた個数)していますね。
(1)
@
  A
 =《8》−《7》
 =(1番目から8番目までの和)−(1番目から7番目までの和)
 =8番目の数
 =2×2×2×2×2×2×2 ←2を7個かけたものになりますね。
 =128
となります。
A
  《B》
 =《9》−《6》×8 ←逆算しました。
 =《3》 ←《6》×8ですが、(分配法則を利用すると、)1番目のものが8倍することにより4番目になり、2番目のものが8倍することにより5番目になり、・・・、6番目のものが8倍することにより9番目のものとなる(8倍することにより、番号が3増えていますね)ので、1番目から9番目までの和との差は、1番目から3番目までの和となりますね。わかりにくければ、具体的に書き出していけばいいでしょう。
だから、B=3となります。
B
  《10》+《10》
 =《10》×2
 =2番目から11番目の和 ←(分配法則を利用すると、)1番目のものが2倍することにより2番目になり、2番目のものが2倍することにより3番目になり、・・・、10番目のものが2倍することにより11番目のものとなる(2倍することにより、番号が1増えていますね)ので、このようになりますね(Aと同様の考え方ですね)。わかりにくければ、具体的に書き出していけばいいでしょう。
 =1番目から11番目の和−1番目の数(の和)
 =《11》−《1》
だから、C=11、D=1となります。
(2)
Bの式(と同じ考え方)を利用すると、
  《20》+《20》=《20》×2=《21》−《1》
となるから、
  《20》
 =《21》−《20》−《1》 ←逆算しました。
 =21番目の数−1番目の数
 =2を20個かけた数−1
 =1024×1024−1 2を10個かけたものが1024であることを利用しました。
 =1048575
となります。
上の解説ではフェリスの誘導に従って解きましたが、等比数列の和の求め方(公比倍したものと求めたいものとの差を考えます)を知っていれば、いきなり次のようにすることができます。
  《20》  =1+2+4+・・・+219 ←219は、2を19個かけたものを表します。
  《20》×2=  2+4+・・・+219+220
差を考えると、
  《20》=220−1(以下略)
となります。
また、例えば、1+3+9+27+81+243+729(@とします)を求めるのであれば、
  B=  3+9+27+81+243+729+2187
  @=1+3+9+27+81+243+729
両者の差を考えると、
  A=2187−1
となるから、
  @=(2187−1)/2=1093
となります。
等比数列の和の求め方については、灘中学校1992年2日目第1問の解説も参照しましょう。

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