四天王寺中学校２００６年算数Ａ第５問（解答・解説）
（１）
（１、）２、４、８で●が右に移動していることに注目すれば、２進法の問題であることはすぐにわかりますね。
左から順に、１（２０）の位、２（２１）の位、４（２２）の位、８（２３）の位、１６（２４）の位、３２（２５）の位、６４（２６）の位、１２８（２７）の位で、○が０、●が１となります。
したがって、コインの列●○●○●○○○が表す数は、
１＋４＋１６
＝２１
となります。
（２）
コインの列●○○●●○○○と●○○●○●●○をそれぞれ２進数で表すと、１１００１、１１０１００１となります。 ←●を１、○を０で置き換え、右から並べ替えるだけです（最初の１が出てくるまでの０は消します）。
その和は
１１００１
＋１１０１００１
１０００００１０
となります。 ←２で繰り上がることに注意して計算するだけです。
これを○と●で表すと、○●○○○○○●となります。 ←１を●、０を○で置き換え、右から並べ替えるだけです（先ほどと逆の作業になります）。
少し面倒ですが、コインの列●○○●●○○○と●○○●○●●○が表す数をそれぞれ求めてから解いてもいいでしょう。
コインの列●○○●●○○○が表す数は
１＋８＋１６
＝２５
で、コインの列●○○●○●●○が表す数は
１＋８＋３２＋６４
＝１０５
だから、その和は
２５＋１０５
＝１３０
となります。
２）１３０
２） ６５・・・０
２） ３２・・・１
２） １６・・・０
２） ８・・・０
２） ４・・・０
２） ２・・・０
１・・・０
これを２進法に変換すると、１０００００１０となります（以下略）。
（３）
表すことのできる最も大きい数より１大きい数が
２８
＝２５６
であることはすぐにわかりますね。 ←●●●●●●●●の次があれば、○○○○○○○○●となるはずですね。
したがって、表すことのできる最も大きい数は
２５６−１
＝２５５
となります。
もちろん、●●●●●●●●が表す数を直接求めてもいいでしょう。
１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８ ←等比数列の和になっていますね。
＝２５５
となります。
（参考）等比数列の和について
Ｓ＝１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８とＳ×２＝２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋１２８＋２５６の差を考えると、２〜１２８がうまく消えて、
Ｓ
＝２５６−１
＝２５５
となります。
なお、次のような図をイメージするといいでしょう。
図の場合、１＋２＋４＋８＋１６＋３２＝６４（８×８）−１＝６３になります。
×☆□□△△△△
★★□□△△△△
■■■■△△△△
■■■■△△△△
▲▲▲▲▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲
▲▲▲▲▲▲▲▲
この問題の応用問題である変則Ｎ進法の問題（聖光学院中学校２００３年算数第３問、麻布中学校１９９４年算数第４問）があるので、ぜひ解いてみましょう。