神戸大学２０１９年前期理系数学第４問・文系数学第２問（問題）
次のように１、３、４を繰り返し並べて得られる数列を｛an｝とする。
１，３，４，１，３，４，１，３，４，・・・
すなわち、a1＝１、a2＝３、a3＝４で、４以上の自然数ｎに対し、an＝an-3とする。この数列の初項から第ｎ項までの和をＳnとする。以下の問に答えよ。
（１）Ｓnを求めよ。
（２）Ｓn＝２０１９となる自然数ｎは存在しないことを示せ。
（３）どのような自然数ｋに対しても、Ｓn＝ｋ2となる自然数ｎが存在することを示せ。
（注）
an→数列のn番目の数（他も同様）
自然数→１以上の整数
初項→数列の１番目の数
第ｎ項→数列のｎ番目の数