大阪大学２０００年前期理系数学第３問（解答・解説）
フロベニウスの硬貨交換問題（シルベスターの切手問題）と呼ばれる有名問題ですが、特別な知識は不要です。
３と５（３と５の両方を使う必要はありません）から整数（１以上）を作る問題にすぎません。
横に６個ずつ数字を並べた表をかきます。 ←横に３個ずつあるいは５個ずつ数字を並べた表をかいてもいいでしょう。
上の図で、ある数が作られると、その数の下にある数はすべて作ることができます（★）。縦方向は、６（３＋３で作ることができますね）ずつ増えるからです。
また、ある数が作られると、その数の左斜め下にある数はすべて作ることができます（☆）。左斜め下方向は、５ずつ増えるからです。
まず、１、２、４は明らかに作ることができませんね。いずれの数も３で割り切れないため、５を使う必要があるのですが、５よりも小さい数を５を使って作ることはできないからです。
また、明らかに３、５、６（３＋３）は作ることができますね。
そして、（★）と（☆）を使うことにより、残りの数のうち作ることができる可能性があるのは、７のみとなりますが、実際に作ることは不可能です。なぜなら、５を使うと、残りは２となり、明らかに不適当ですし、５を使わないとすると、７は３で割り切れないため、やはり不適当だからです。
以上より、３と５で作ることができない整数は、１、２、４、７となります。
なお、３と５で作ることができない最大の整数は、３×５−（３＋５）＝７となります。
因みに、日本数学オリンピック（ＪＭＯ）２０００年予選第２問はこの問題と全く同じ問題です。
中学入試にも同じような問題（甲陽学院中学校１９９７年算数２日目第３問、甲南中学校２０００年算数２期第３問、渋谷教育学園幕張中学校２０１３年算数第３問など）が出ているので、ぜひ解いてみましょう。
