京都大学１９９９年前期文系数学第５問（解答・解説）
（１）
ｎ角柱の各頂点には、３つの面が集まっていて、それらの面は異なる色で塗る必要があります。
したがって、Ｐ２＝０となります。
また、側面には最低２色必要で、しかも、底面（上下）は、側面と異なる色で塗らなければいけないので、３色で塗る場合、底面（上下）は同色で塗る必要があります。
側面を最小の番号の面から時計回りに塗っていくと、２色の色を交互に塗る必要がありますが、側面が奇数個の場合、最初と最後が同色になり、これらの面は隣り合うので条件を満たしません。側面が偶数個の場合、最初と最後の面が異なる色になるので、条件を満たします。
結局、ｎが奇数のとき、Ｐ３＝０となり、ｎが偶数のとき、Ｐ３＝３×２＝６通りとなります。 ←底面（上下）の塗り方が３通りあり、そのそれぞれに対して、側面の塗り方（最初に塗る色の決め方）が２通りあるからです。
（２）
底面（上下）を異なる色で塗ると、（１）のｎが奇数の場合同様、条件を満たさないので、底面（上下）は同じ色で塗る必要があります（４通り）。
あとは、側面を３色で塗り分けることを考えればいいですね。
（１）同様、側面の最小の番号の面から時計回りに７面塗っていきます。
塗る色をＡ、Ｂ、Ｃとします。
Ａの次はＢまたはＣ、Ｂの次はＡまたはＣ、Ｃの次はＡまたはＢを塗ることになり、最初と最後は違う色を塗ることになります。
Ａ→Ｂ Ｂ→Ａ Ｃ→Ａ
→Ｃ →Ｃ →Ｂ
逆から考えると、
Ａの個数＝１つ前のＢの個数＋１つ前のＣの個数
Ｂの個数＝１つ前のＣの個数＋１つ前のＡの個数
Ｃの個数＝１つ前のＡの個数＋１つ前のＢの個数
となることがわかるので、機械的に処理できます。
まず、最初がＡの場合について考えると、以下の表のように、条件を満たすものは２１×２＝４２通りあります。最初がＢ、Ｃの場合も同じだから、側面を３色で塗り分ける場合の数は４２×３＝１２６通りとなります。 ←ＢとＣは条件的に同じだからです。〜条件の対等性を利用して作業を減らす！
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
Ａ １ ０ ２ ２ ６ １０ ２２
Ｂ ０ １ １ ３ ５ １１ ２１
Ｃ ０ １ １ ３ ５ １１ ２１
底面（上下）の塗り方が４通りあり、そのそれぞれに対して、側面の塗り方が１２６通りあるから、Ｐ４は
４×１２６
＝５０４通り
となります。
なお、条件の対等性を駆使しながら、樹形図をかいて解くこともできます。３分もかかりませんよ。
この問題は、下の神戸女学院の問題と全く同様の問題です。
（神戸女学院中学部２０００年算数第６問）
赤、白、青のおはじきがそれぞれたくさんあって、左から順に１列に並べていきます。ただし、赤の次は必ず白、白の次は必ず青を並（なら）べるものとします。
（１）４個並べる並べ方は何通りありますか。
（２）９個並べたとき、左はしも右はしも赤になる並べ方は何通りありますか。
（答えは、（１）１７通り、（２）１３通りとなります。）
ホームページには、この問題と同様の問題を取り上げているので、ぜひ解いてみましょう（大阪星光学院中学校２００７年算数第４問、灘中学校１９９６年算数１日目第９問、ラ・サール中学校１９９７年算数１日目第４問など）。