京都大学２０２１年文系数学第５問（解答・解説）
ｐが３のとき、ｐ4＋１４＝３×３×３×３＋１４＝８１＋１４＝９５は５で割り切れるから、素数ではありません。←小さな素数で少し実験してみれば、ｐが３のときはｐ4＋１４が５の倍数となり、ｐが３以外のときは、ｐ4＋１４が３の倍数になることがわかるので、ｐが３のときとそれ以外のときに場合分けして考えます。
ｐが３以外の素数のとき、ｐを３で割ったときの余りは１か２となります。
ｐを３で割ったときの商を△、余りを○（○＝１、２）とします。
ｐ２の面積図をかくと、次のようになります。 ←２数の積があれば、長方形（正方形）の面積に帰着させることができますね。
黄色の部分は３で割り切れるので、ｐ２を３で割ったときの余りは、ピンク色の部分（○×○）を３で割った余りと等しいことがわかります。 ←一般に、○を△で割ったときの余りが☆、□を△で割ったときの余りが★のとき、○×□を△で割ったときの余りは☆×★を△で割ったときの余りと等しくなります（和、差についても同様です）。上と同様の面積図をかけばすぐにわかります。
１×１＝１、２×２＝４のいずれも３で割ると１余るから、ｐ２は３で割ると１余ることになり、さらにｐ２×ｐ２＝ｐ４も３で割ると１余ることになり、それに３で割ると２余る数である１４を加えた数、つまりｐ４＋１４は３で割り切れることになります。
ところが、ｐ４＋１４は明らかに３より大きく、３以外の３の倍数は素数でないから、ｐ４＋１４は素数ではありません。
したがって、ｐが素数のとき、ｐ４＋１４は素数ではありません。
京都大学２００６年前期理系数学第４問が同じ着眼点で解ける同レベルの問題なので、ぜひ解いてみましょう。
