東京大学２０２４年文科数学第４問（解答・解説）
ｎ＝５のときは、４頂点をどのように選んでも条件を満たすので、確率は１となります。 ←１００％ということですね。
以下、ｎが７以上の奇数の場合について考えます。
四角形ＡＢＣＤの内部にＯが含まれないものを数えることにします。
四角形の４頂点を反時計回りにＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとし、四角形の辺のうちＯに最も近いものを辺ＡＢとします。 ←ダブりを防ぐためです。このようにすることで、図の黄色の部分に四角形を配置することになります。
点Ａの選び方はｎ通りあります。
ｎを２×ｍ＋１（ｍは３以上の整数）とし、Ａ以外の残り３つの頂点を選びます。
Ａに決まった頂点以外の残りの２×ｍ個の頂点を正ｎ角形の線対称の軸によってｍ個ずつ分けます。
四角形ＡＢＣＤの内部にＯが含まれないのは、図の黄色の部分（Ａは除きます）のｍ個の頂点から３個の頂点を選んで、反時計回りにＢ、Ｃ、Ｄとしたときになります。
四角形ＡＢＣＤの内部にＯが含まれない場合は
ｎ×ｍ×（ｍ−１）×（ｍ−２）/（３×２×１） ←組合せですね。
＝ｎ×（ｎ−１）/２×（ｎ−３）/２×（ｎ−５）/２×１/（３×２×１） ←ｎ＝２×ｍ＋１を逆算して、ｍ＝（ｎ−１）/２となることを利用しました。
＝ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−３）×（ｎ−５）/（２×４×３×２×１）通り
あります。
また、四角形の４頂点の選び方は全部で
ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）×（ｎ−３）/（４×３×２×１） ←組合せですね。
＝２×ｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）×（ｎ−３）/（２×４×３×２×１）通り ←比率をわかりやすくするために、このように変形しました。
あるから、四角形ＡＢＣＤの内部にＯが含まれない確率は（ｎ−５）/{２（ｎ−２）}となり、求める確率は、
１−（ｎ−５）/{２（ｎ−２）} ←すべての確率から条件を満たさない場合の確率を引きます。
＝｛２×（ｎ−２）−（ｎー５）｝/{２（ｎ−２）}
＝（２×ｎ−４＋５−ｎ）/{２（ｎ−２）} ←分子の計算は小学生にはやや難しいかもしれませんね。２×（ｎ−２）−（ｎー５）の引かれる数と引く数の両方に５を足しました（差一定）。その後、２×（ｎ−２）については分配法則を利用しました。
＝（ｎ＋１）/{２（ｎ−２）}
となり、これはｎが５のときも成り立ちますね。
一橋大学で三角形の場合の問題（一橋大学２０２４年数学第５問）が出されていて、上の解説と同様の考え方で鈍角三角形を数えることができます。
三角形の３頂点を反時計回りにＡ、Ｂ、Ｃとし、三角形の辺のうちＯに最も近いものを辺ＡＢとします。
鈍角三角形はｎ×ｍ×（ｍ−１）/（２×１）通り（ｎ＝２×ｍ＋１）、三角形は全部でｎ×（ｎ−１）×（ｎ−２）/（３×２×１）通りとなります。
