名古屋大学２０２５年理系数学第２問・文系数学第２問（解答・解説）
与えられた条件より、（a＋b）×（a−b）＝cとなります。 ←和と差の積＝２乗の差（南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解答・解説を参照）を利用しました。
（a＋b）＋（a−b）＝a×２（偶数）だから、a＋bとa−bの偶奇は一致します。 ←偶奇性の利用については、中学入試でもよく出されています（神戸女学院中学部２００３年算数第２問、南山中学校女子部２０２５年算数第７問など）。
a≧b≧０だから、a＋bはa−b以上となります。
（１）
（あ）c＝２４のとき
２４の約数のペアがa＋bとa−bということですね。
最初に述べたことに注意すると（a＋b,a−b）＝（１２，２）、（６，４）となります。
和差算を解くと、(a,b)＝（７，５）、（５，１）となります。
（い）c＝２５のとき
最初に述べたことに注意すると（a＋b,a−b）＝（２５，１）、（５，５）となります。
和差算を解くと、(a,b)＝（１３，１２）、（５，０）となります。
（う）c＝２６のとき
２６（＝２×１３）は偶数ですが、偶数の約数を２個持たないので、最初に述べたことから、（a＋b）×（a−b）＝２６となることはありえません。
したがって、(a,b)はありません。
（２）
３以上の素数pは奇数ですね。
４p2n（偶数ですね）の約数のペアがa＋bとa−bということですね。
最初に述べたことに注意すると、（a＋b,a−b）＝（２p2n-k,２pk）（ただし、kは０以上ｎ以下の整数）となります。 ←小学生にはこの部分が若干わかりにくいかもしれません。まず、２個ある素因数２をともに偶数であるa＋bとa−bに１個ずつ割り振ります。次に、２ｎ（２×ｎ）個ある素因数pをa＋bのほうがa−bのほうより少なくならないように割り振ります。a−bのほうの素因数pの個数は最大でもｎ個となりますね。
和差算を解くと、a＝（２p2n-k＋２pk）/２＝p2n-k＋pkとなり、b＝（２p2n-k−２pk）/２＝p2n-k−pkとなり、(a,b)=(p2n-k＋pk,p2n-k−pk)（ｋは０以上ｎ以下の整数）となります。