甲陽学院中学校２０１５年算数２日目第６問（解答・解説）
（１）
辺ＢＣ上に、点Ｈを、ＡＨとＤＦ（ＥＧ）が平行になるように取ります。 ←平行線は入試頻出の補助線の１つです。
三角形ＢＤＦと三角形ＢＡＨのピラミッド相似（相似比はＢＤ：ＢＡ＝３：（３＋２）＝３：５）に注目すると、ＤＦ＝ＡＨ×３/５となることがわかります。
また、三角形ＣＥＧと三角形ＣＡＨのピラミッド相似（相似比はＣＥ：ＣＡ＝１：（１＋２）＝１：３）に注目すると、ＥＧ＝ＡＨ×１/３となることがわかります。
したがって、
ＤＦ：ＥＧ
＝（ＡＨ×３/５）：（ＡＨ×１/３）
＝９：５
となります。
（２）
面積比が
三角形ＡＢＣ：台形ＤＦＧＥ＝４０５：１９６
で、「上底＋下底」（「中底」）の比が
三角形ＡＢＣ：台形ＤＦＧＥ＝ＡＨ：（ＤＦ＋ＧＥ）＝（９×５/３）：（９＋５）＝１５：１４
だから、高さの比は
ＢＣ：ＦＧ
＝４０５/１５：１９６/１４ ←比の積・商～台形の面積＝（上底＋下底）×高さ×１/２、三角形の面積＝底辺（ここでは中底を使います）×高さ×１/２の公式から逆算しただけです。「中底」については、ラサール中学校２００６年算数第５問の解説を参照しましょう。
＝２７：１４
＝２７：１４
となります。
また、（１）の相似より、ＢＦ：ＦＨ＝[３]：[２]、ＣＧ：ＧＨ＝①：②だから、
[３]＋①＝２７－１４＝１３
[２]＋②＝１４
あとは消去算を解くだけです。
２番目の式を１/２倍すると、[１]＋①＝７となります。
これと１番目の式の差を考えると、[２]＝６となり、[１]＝３となります。
したがって、
ＢＦ：ＦＧ：ＧＣ
＝（３×３）：１４：（１３－３×３）
＝９：１４：４
となります。
