灘高等学校２００９年数学第３問（解答・解説）
（１）
百の位が８通りあり、そのそれぞれに対して、十の位も８通りあり、そのそれぞれに対して、一の位も８通りあるから、全部で
８×８×８ ←８は２の３乗だから、２の９乗になります。２の１０乗＝１０２４を利用すると、すぐに答えが出せますね。
＝５１２個
できます。
（２）
３桁の整数が３の倍数だから、各位の数の和が３の倍数となります。
各位の数の和は
１＋２＋３
＝６以上 ←下限チェック！
８＋７＋６
＝２１以下 ←上限チェック！
だから、各位の数の和は６、９、１２、１５、１８、２１となります。
組み合わせとして考えられるのは、次のようになります。 ←まず選び出し、次に並べ替えます。
各位の数の和が６の場合
（１，２，３）
各位の数の和が９の場合
（１，２，６）、（１，３，５）
（２，３，４）
各位の数の和が１２の場合
（１，３，８）、（１，４，７）、（１，５，６）
（２，３，７）、（２，４，６）
（３，４，５）
各位の数の和が１５の場合
各位の数の和が１５の場合で、１と８、２と７、３と６、４と５を入れ替え（和が９になる数同士を入れ替え）たものになります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らします。
実際にやってみると、次のようになります。
（８，６，３）、（８，５，２）、（８，４，３）
（７，６，２）、（７，５，３）
（６，５，４）
各位の数の和が１８の場合
各位の数の和が９の場合で、１と８、２と７、３と６、４と５を入れ替えたものになります。
各位の数の和が２１の場合
各位の数の和が６の場合で、１と８、２と７、３と６、４と５を入れ替えたものになります。
いずれの組み合わせも数字の入れ替え方が
３×２×１
＝６通りあるから、
全部で
６×（１＋３＋６）×２
＝１２０個
できます。
（別解）
まず、１〜８を３で割った余りで分類してから解きます。
（あ）３で割った余り１・・・１、４、７
（い）３で割った余り２・・・２、５、８
（う）３で割った余り０・・・３、６
３桁の整数が３の倍数となる組み合わせは、（あ）、（い）、（う）のそれぞれのグループから１個ずつ使った場合（Ｐ）と（あ）、（い）、（う）の同一のグループから３個使った場合（Ｑ）になります。
（Ｐ）の場合は、（あ）からどの数字を選ぶかで３通りあり、そのそれぞれに対して、（い）からどの数字を選ぶかで３通りあり、そのそれぞれに対して、（う）からどの数字を選ぶかで２通りあるから、全部で
３×３×２
＝１８通り
あります。
（Ｑ）の場合、（あ）の３個の数字を使った場合と（い）の３個の数字を使った場合の２通りあります。
結局、各位の数字の組み合わせは
１８＋２
＝２０通り
あります（以下略）。
この別解のほうが楽なように感じますが、（３）のことを考えると、最初の解法のほうがいいでしょう。
（３）
（２）で入れ替えた数同士でペアを作って和を求めると、各位はすべて９となり、ペアの数の和は９９９となります。 ←例えば、１３５＋８６４＝９９９、２４６＋７５３＝９９９となりますね。
したがって、求める数の和は
９９９×１２０/２
＝６０×１０００−６０ ←９９９＝１０００−１として分配法則を利用しました。
＝６００００−６０
＝５９９４０
となります。
洛南高校附属中学校２０１５年算数第５問の（２）がこの問題の（３）と同様の発想で解ける問題になります。ぜひ解いてみましょう。