大阪星光学院高等学校２０１０年１次数学第１問（２）（解答・解説）
２０１０を素因数分解します。
２０１０の一の位が０であることと各位の数の和が３であることから、１０（２×５）と３で割り切れることがすぐにわかりますね。
まず１０（２×５）で割った後、３で割れば暗算でできますね。 ←２の倍数判定法、５の倍数判定法、３の倍数判定法を利用しました。倍数判定法については、（参考）を参照しましょう。
２０１０＝２×３×５×６７となるから、２０１０の約数は
２×２×２×２ ←素因数２、３、５、６７のそれぞれを使うか使わないかの２通りあるからです。約数の個数については、神戸女学院中学部１９９５年算数２日目第４問を参照しましょう。
＝１６個
となります。
２０１０をｎで割ったときの商を□とすると、
２０１０＝ｎ×□＋□（□＝０、１、２、・・・、ｎ−１）
２０１０＝（ｎ＋１）×□ ←分配法則の逆を利用しました。
あります。
ｎ＋１と□は２０１０の約数のペアとなりますが、ｎ＋１＞□だから、素因数６７をｎ＋１に割り振る必要があります。
また、ｎが２桁の自然数であることから、ｎ＋１＝６７となり、ｎ＝６６となります。
（参考）倍数判定法（実用的なもの）について
２の倍数→下１桁（一の位）が２の倍数（０も含む）
３の倍数→各位の和が３の倍数
４の倍数→下２桁が４の倍数（００も含む）
５の倍数→下１桁（一の位）が５の倍数（０か５）
８の倍数→下３桁が８の倍数（０００も含む）
９の倍数→各位の和が９の倍数
１１の倍数→各位の数から１つおきにとった数の合計の差が１１の倍数（０も含む）
（２の倍数、４の倍数、８の倍数、５の倍数の判定法について）
５×２＝１０だから、一の位を除いた部分の数は必ず２の倍数となっています。したがって、ある数が２の倍数であるためには、一の位が２の倍数であればよいことになります。５の倍数についてもまったく同様に説明できます。
２５×４＝１００だから、下２桁の数を除いた部分の数は必ず４の倍数となっています。したがって、ある数が４の倍数であるためには、下２桁が４の倍数であればよいことになります。２５の倍数についてもまったく同様に説明できます。
１２５×８＝１０００だから、下３桁の数を除いた部分の数は必ず８の倍数となっています。したがって、ある数が８の倍数であるためには、下３桁が８の倍数であればよいことになります。１２５の倍数についてもまったく同様に説明できます。
（３の倍数、９の倍数、１１の倍数の判定法について）は、洛星中学校２００２年後期算数２第１問を参照しましょう。