東大寺学園高等学校２０１１年数学第２問（解答・解説）
（１）
Ｎ
＝１００×a＋１０×b＋１×c
＝１００×（９−c）＋１０×ｂ＋ｃ ←a＋c＝９だから、a＝９−c
＝９００＋１０ｂ−９９ｃ ←分配法則を利用しました。答えなので、文字式のルールに従ってかけ算の記号を省略しています。
となります。
（２）
（１）を無視して、もう少し一般的に解きます。 ←以下に示した方法で、１１の倍数判定法を証明することができます。洛星中学校２００２年後期算数２第１問の解答解説を参照しましょう。
Ｎ
＝１００×a＋１０×ｂ＋１×c
＝（９９＋１）×a＋（１１−１）×ｂ＋１×ｃ
＝９９×a＋a＋１１×b−b＋c
＝１１×（９×a＋b）＋a−b＋c
だから、Ｎが１１で割り切れるのは、a−b＋c＝９−bが１１で割り切れるとき、つまりb＝９のときになります。
（３）
（２）より、
Ｎ
＝９００＋１０×９−９９×ｃ
＝９９０−９９×ｃ
＝９９×（１０−c） ←分配法則の逆を利用しました。
となります。
これが（c2＋６８）×１１と等しいから、
９９×（１０−c）＝（c2＋６８）×１１
９×（１０−c）＝c2＋６８ ←両辺を１１で割りました。
となります。
小学生が２次方程式を解くのは厳しい（負の数が答えでないので、面積図で答えを求める方法もありますが・・・）ので、整数問題として範囲をしぼって倍数条件に着眼して解きます。
aは１以上の整数でa＋c＝９だから、cは８以下の整数となり、９×（１０−c）は１８以上８１以下の９の倍数となります。
c2＋６８は６９以上の整数だから、結局、９×（１０−c）は７２以上８１以下の９の倍数となります。
９×（１０−c）＝７２のとき、c＝２となり、２×２＋６８＝７２となるから、条件を満たします。
９×（１０−c）＝８１のとき、c＝１となり、１×１＋６８＝６９となり、条件を満たしません。
したがって、c＝２と確定し、a＝９−２＝７となるから、Ｎ＝７９２となります。