大阪星光学院高等学校２０２４年数学第４問（解答・解説）
Ｘの十の位の数と一の位の数をそれぞれ〇、△（〇と△は整数で、９≧〇＞△≧１）とします。
（１）
〇△
＋△〇
７７
十の位から百の位への繰り上がりがないから、一の位から十の位への繰上りもなく、〇＋△＝７となります。
〇＋△＝７
６ １
５ ２
４ ３
だから、答えは６１、５２、４３となります。
（２）
低学年の子が解くようなやり方（（１）の解法）では厳しそうなので、本格的な解法を採用します。
Ｘ2−Ｙ2＝４４５５より、（Ｘ＋Ｙ）×（Ｘ−Ｙ）＝４４５５となります。 ←「和と差の積＝２乗の差」（関西学院中学部１９９６年２日目算数第１問（４）の解答・解説を参照）を利用しました。
Ｘ＝〇×１０＋△、Ｙ＝△×１０＋〇だから、
Ｘ＋Ｙ
＝〇×１０＋△＋△×１０＋〇
＝〇×１１＋△×１１
＝１１×（〇＋△） ←分配法則の逆を利用しました。
Ｘ−Ｙ
＝〇×１０＋△−△×１０−〇
＝〇×９−△×９
＝９×（〇−△） ←分配法則の逆を利用しました。
となります。
また、４４５５＝１１×４０５＝１１×５×８１＝１１×９×５×９だから、
（〇＋△）×（〇−△）＝５×９＝４５
となります。
〇＋△と〇−△は４５の約数のペアで、９＋８＝１７＞〇＋△＞〇−△≧１だから、（〇＋△,〇−△）＝（１５，３）、（９，５）となります。
あとは、和差算を解くだけです。
（１５＋３）/２＝９、９−３＝６
（９＋５）/２＝７、７−５＝２
だから、答えは９６、７２となります。
（３）
再び、低学年の子が解くようなやり方で解きます。
〇△×△〇＝１６１２
△×〇の一の位の数が２となることに着目して解きます。 ←九九の計算結果の一の位が２のものを探すだけのことです。
△と〇の少なくとも１つは偶数だから、その偶数が２、４、６、８の場合を調べつくします。
２と１、６
４と３、８
６と（２）、７
８と（４）、９
（ ）をつけた数字は既出だから検討する必要はありませんね。
２１×１２＜１０００で１６１２より明らかに小さく、４０×８０、６０×７０、８０×９０は明らかに１６１２より大きいので、チェックすべきものは２６×６２、４３×３４だけとなります。 ←上限チェック！下限チェック！
１６１２は、下２桁の１２が４の倍数だから、４の倍数となりますが、４３×３４は４の倍数ではありませんね。
結局、答えの候補は２６×６２だけとなり、２６×６２＝１６１２となるので、答えは６２となります。