大阪星光学院高等学校２０２５年数学第１問（４）（解答・解説）
３つのさいころの目の出方は全部で６×６×６＝２１６通りあります。
（前半について）
さいころを３回ふる問題だから、６×６の表をかいて求めることもできますが、ここでは、表をかくまでもないでしょう。
余事象を利用して解きます。
すべての場合（２１６通り）のうち、出た目の積が５の倍数にならないのは、５の倍数（５）が１回も出ない場合になります。
出た目の積が５の倍数にならない場合は
５×５×５ ←５の倍数が１回も出ないというのは、３回とも１、２、３、４、６のいずれかの目が出るということですね。
＝１２５通り
あるから、出た目の積が５の倍数になる場合は
２１６−１２５
＝９１通り
あり、求める確率は９１/２１６となります。
東大や京大などでもう少し難しい問題（京都大学１９９２年前期理系数学第４問・文系数学第４問、東京大学２００３年前期理科数学第５問、京都大学２０２３年理系数学第３問、東京工業大学２０１２年数学第１問（２）など）が出されているので、ぜひ解いてみましょう。
（後半について）
３つのさいころの出た目の目の和は最大で６×３＝１８だから、出た目の和が１５以上という場合はそんなにありませんね。 ←イメージとしてはすべてのさいころがほぼ６という感じです。
そこで、まず選び出し、次に並べ替えるという方針で数え上げます。
（あ）出た目の和が１５の場合
６、６、３・・・３通り
５、４・・・３×２×１＝６通り
５、５、５・・・１通り
（い）出た目の和が１６の場合
６、６、４・・・３通り
５、５・・・３通り
（う）出た目の和が１７の場合
６、６、５・・・３通り
（え）出た目の和が１８の場合
６、６、６・・・１通り
全部で３＋６＋１＋３＋３＋３＋１＝２０通りあるから、求める確率は２０/２１６＝５/５４となります。
（別解）
３つのさいころの出た目がすべて６の場合と比べると、出た目の和が１５以上というのは、３つのさいころが「失った数」の合計が６×３−１５＝３以下とということですね。
４つ目のさいころを考え、４つのさいころが「失った数」が３となる場合を考えればいいですね。 ←例えば、３つのさいころが「失った数」が２のとき、４つ目のさいころが「失った数」を３−２＝１と考えるわけです（他も同様）。
これは〇３個と/３個を並べ替える場合を考えればよいから、 ←例えば、〇//〇/〇であれば、大、中、小、追加のさいころの「失った数」が１、０、１、１となり、///〇〇〇であれば、大、中、小、追加のさいころの「失った数」が０、０、０、３となります。
（６×５×４）/（３×２×１）
＝２０通り
となります（以下略）。