洛南高校附属中学校２００６年算数第７問（解答・解説）
（１）
千の位は、２、３、５の３通り、百の位、十の位、一の位も同様に３通りあるから、数字は全部で
３×３×３×３ ←同時に起こる⇒積の法則
＝９×９
＝８１個
あります。
（２）
千の位が２の数は
１×３×３×３
＝２７個
あり、同様に、千の位が３の数も２７個あるから、千の位が２か３の数は
２７×２ ←千の位が２、３、５の数の個数は同じ（２、３、５は条件的に同じだからです）ことに注目して、８１×２/３＝５４としてもいいでしょう。
＝５４個
あります。
あとは、書き出せばいいでしょう。
３５５□・・・３個（５２番目〜５４番目） □＝２、３、５
３５３□・・・３個（４９番目〜５１番目）
５０番目の数は、３５３□の小さい（大きい）ほうから２番目の数だから、３５３３となります。
（３）
８の倍数であるためには、まず２の倍数であることが必要ですね。
２の倍数の一の位は２の倍数だから、一の位は２に確定します。
□○△２
また、８の倍数であるためには、４の倍数であることが必要です。
４の倍数の下２桁は４の倍数（００も含めて４の倍数と考えます）だから、
□○２２ ×
□○３２ ○
□○５２ ○
となります。
８の倍数は、下３桁が８の倍数（０００も含めて８の倍数と考えます）だから、
□２３２ ○
□３３２ ×
□５３２ ×
□２５２ ×
□３５２ ○
□５５２ ○
となり、千の位（□）は、２、３、５のどれでもいいですね。
したがって、８の倍数は
３×３
＝９個
あります。
（４）
一の位から続けて０が並ぶ個数は、１０（２×５）で割り切れる回数ですね。
２で割り切れる回数よりも５で割り切れる回数のほうが明らかに少ないので、５で割り切れる回数を考えれば足ります。
５の倍数（５で１回割り切れますね）は、一の位が０か５だから、一の位は５に確定します。
一の位が５の数は、千の位が５の数の場合同様、２７個あります。
５×５＝２５の倍数（５で２回割り切れますね）は、下２桁が２５の倍数（００も２５の倍数に含めて考えます。００、２５、５０、７５の４通りありますね）だから、下２桁は２５に確定します。
□○２５
千の位は３通りあり、そのそれぞれに対して百の位も３通りあるから、下２桁が２５の数は
３×３
＝９個
あります。
５×５×５＝１２５の倍数（５で３回割り切れますね）は、下３桁が１２５の倍数（０００も１２５の倍数に含めて考えます。０００、１２５、２５０、３７５、５００、６２５、７５０、８７５の８通りあります）だから、２、３、５だけでできる下３桁はありませんね。 ←０を使うのはありえないので、実際は、１２５、１２５＋２５０＝３７５、３７５＋２５０＝６２５、６２５＋２５０＝８７５だけチェックすればいいですね。
１２５（５×５×５）の倍数がないので、５を４個以上かけた数の倍数がないことも明らかですね。
したがって、並んでいる数をすべてかけあわせた数が５で割り切れる回数は
２７＋９
＝３６回
となるので、０は一の位から続けて
２７＋９
＝３６個
並ぶことになります。
（参考）
実用的な倍数判定法は次の通りです。
２の倍数→下１桁（一の位）が２の倍数（０も含む）
３の倍数→各位の和が３の倍数
４の倍数→下２桁が４の倍数（００も含む）
５の倍数→下１桁（一の位）が０か５
８の倍数→下３桁が８の倍数（０００も含む）
９の倍数→各位の和が９の倍数
１１の倍数→各位の数から１つおきにとった数の合計の差が１１の倍数（０も含む）
（２の倍数、４の倍数、８の倍数、５の倍数の判定法について）
５×２＝１０だから、一の位を除いた部分の数は必ず２の倍数となっています。したがって、ある数が２の倍数であるためには、一の位が２の倍数であればよいことになります。５の倍数についてもまったく同様に説明できます。
２５×４＝１００だから、下２桁の数を除いた部分の数は必ず４の倍数となっています。したがって、ある数が４の倍数であるためには、下２桁が４の倍数であればよいことになります。あまり使いませんが、２５の倍数についてもまったく同様に説明できます。
１２５×８＝１０００だから、下３桁の数を除いた部分の数は必ず８の倍数となっています。したがって、ある数が８の倍数であるためには、下３桁が８の倍数であればよいことになります。あまり使いませんが、１２５の倍数についてもまったく同様に説明できます。
３の倍数、９の倍数、１１の倍数判定法については、洛星中学校２００２年後期算数２第１問の解答・解説を参照しましょう。