東大寺学園中学校２０１６年算数第２問（解答・解説）
問題文を整理すると、次のようになります。
１→３
２→２
３
３→１
２
３
逆から見ると、１番目以外のある順番の１、２、３の個数については、それぞれ次のような関係が成り立つことがわかります。
１の個数＝１つ前の３の個数
２の個数＝１つ前の２の個数＋１つ前の３の個数
３の個数＝１つ前の１の個数＋１つ前の２の個数＋１つ前の３の個数
表で書き出すと、次のようになります。
（２から始めた場合）
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
１ ０ ０ １ ２ ５ １１ ２５
２ １ １ ２ ４ ９ ２０ ４５
３ ０ １ ２ ５ １１ ２５ ５６
（１から始めた場合）
１ ２ ３ ４
１ １ ０ １ １
２ ０ ０ １ ２
３ ０ １ １ ３
問題文で書かれている左から何番目というものに意味はありません。
ある数から並べ始めたときにそこから何番目かが重要です。
（１）
２〇〇２の〇に数字を埋めていくことになります。
上の（２から始めた場合）の表より、条件を満たす並べ方は全部で４通りあります。
（３）
２〇〇２〇〇〇〇〇２の〇に数字を埋めていくことになります。
上の（２から始めた場合）の表より、条件を満たす並べ方は全部で
４×４５ ←（２から始めて４個並べて４番目が２の場合）×（２からはじめて７個並べて７番目が２の場合）です。
＝１８０通り
あります。
（２）
２〇〇２〇〇１〇〇２の〇に数字を埋めていくことになります。
上の（２から始めた場合）の表と（１から始めた場合）の表より、条件を満たす並べ方は全部で
４×２×２ ←（２から始めて４個並べて４番目が２の場合）×（２からはじめて４個並べて４番目が１の場合）×（１から始めて４個並べて４番目が２の場合）です。
＝１６通り
あります。
ホームページには、この問題と同様の問題を取り上げているので、ぜひ解いてみましょう（京都大学１９９９年前期文系数学第５問、灘中学校１９９６年算数１日目第９問、ラ・サール中学校１９９７年算数１日目第４問、大阪星光学院中学校２００７年算数第４問など）。